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“于是我们又得到了一个等式,2k?=q?,同理可得,q为偶数。”
“也就是说,从根号2是有理数这个前提,我们可以推出这样一个结果,p和q拥有一个共同的因数2,而这违背了最初的假设pq互质,由此可得这个前提条件是错误的。”
“根据类似的思路我们还可以证明根号3,根号12是无理数。”
“然后在这里,我要第一次引入无穷的概念,我现在画一条线段,这条线段的是0,终点是1,也就是它是一段长度为1的有限长的线段。”
“那么请思考这样一个问题,如果我要从0走到1,那么我得先走到0和1的中点1/2,如果我要从0走到1/2,那么我就需要先走到0和1/2的中点1/4,而这个过程是可以无限继续下去的,你们看到问题所在了吗?”
“第二个例子,依旧是这条线段,我把它竖起来,然后我再在它的旁边画一条倾斜一点的线段,有点像直角三角形的高和斜边长,对吧。”
“这两条线段的长度明显是不想等的,但是我们可以将上面的点一一对应起来,横着连线,对,假设,线段是由一个一个可数的点构成的,那么我们就会得到一个荒谬的结论,也就是这两条线段是相等的。”
“但是我们知道它们俩是不相等的,所以,我想你们应该已经得出了结论,哪怕是一条有限长的线段上,上面也布满了无穷个数,对吗?”
“很好,这就是你们暂时需要知道的关于实数的事。”
“我们接下来来讲集合。”
……
米西是半途从艾尔他们中溜出来来到黎曼先生的“课堂”后的。
黎曼先生把召唤光放到了石板的上方,这个光球足够亮,亮到她可以看见她妈妈纸上的笔记。
“妈妈,给我看看。”
“哦!米西!你什么时候过来的?”
“刚刚。”
米西的妈妈抽出她垫在下面的几张纸递给米西,自己则接着听课记笔记。
米西快速地扫了眼那几张纸,然后抬起头看向白光下正在侃侃而谈的黎曼先生。
“……集合另一个需要注意的特性是,元素的重复是无意义的。”
“我们举个例子来理解,大家应该还记得集合定义是具有某种特定性质的对象的汇总,那么我现在在这里喊一句——谁要跟我一起去打猎?报名的人是否就是一个集合?”
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